SOAL-SOAL DAN JAWABAN OLIMPIADE MATEMATIKA MATERI TEORI BILANGAN 1
- (OSK 2003 SMP/MTs) Hasil kali suatu bilangan genap dengan suatu bilangan ganjil adalah 820. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
820 = 22 ⋅ 5 ⋅ 41
Perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan ganjil hanya didapat jika kedua bilangan tersebut adalah ganjil.
Faktor ganjil dari 820 selain 1 adalah 5 dan 41.
Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi adalah 5 ⋅ 41 = 205.
Jadi, bilangan ganjil terbesar yang memenuhi adalah 205.
- (OSN 2003 SMP/MTs) Buktikan bahwa (n − 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.
Solusi :
Alternatif 1 :
Berdasarkan 1.2 didapat bahwa jika (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6 maka (n − 1)n(n3 + 1) habis akan dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3 maka dapat dibuktikan (n − 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.
(n − 1) dan n adalah 2 bilangan bulat berurutan maka (n − 1)n akan habis dibagi 2.
Berdasarkan 2.1 poin (1) maka (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2.
Sebuah bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k + 1 atau 3k + 2.
Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3⏐(n − 1)n(n3 + 1)
Jika n = 3k + 1 maka 3⏐(n − 1) sehingga 3⏐(n − 1)n(n3 + 1).
Jika n = 3k + 2 maka n3 + 1 =(3k + 2)3 + 1 = 3(9k3 + 18k2 + 12k + 3) sehingga 3⏐(n3 + 1).
Maka 3⏐(n − 1)n(n3 + 1).
Didapat bahwa (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 relatif prima maka (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6.
Jadi, (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.
Alternatif 2 :
(n − 1)n(n3 + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n2 − n + 1)
Karena n − 1, n dan n tiga bilangan asli berurutan maka (n − 1)n(n + 1)(n2 − n + 1) habis dibagi oleh 3!= 6.
Jadi, (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.
- Soal :
(OSK 2005 SMP/MTS) Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13 dan b = −2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254 dan 1986 yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b ?
- 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. tak ada
Solusi :
Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b dengan a = −2 dan b = 1. Karena 1 membagi semua bilangan bulat maka semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b. (Jawaban : D)
Misalkan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan terjadi saat a = −2k dan b = k.
- Soal :
Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105
Solusi :
Karena 105 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7.
3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435
Karena 35 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91.
Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.
3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421
Karena 21 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3105 + 4105 habis dibagi 181.
- Soal 5 :
(OSK 2004 SMP/MTS) Semua n sehingga n dan 13−+nn keduanya merupakan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
Alternatif 1 :
Perhatikan bahwa 14141131−−+−−++==nnnnn
Agar 141−+n merupakan bilangan bulat maka n − 1 haruslah merupakan faktor dari 4.
Maka nilai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.
Nilai n yang memenuhi adalah −3, −1, 0, 2, 3 dan 5.
Alternatif 2 :
Selain dengan menggunakan sifat keterbagian, soal tersebut juga bisa diselesaikan dengan memfaktorkan.
Misalkan m = 13−+nn untuk suatu bilangan bulat n dan m.
Persamaan di atas ekivalen dengan
n + 3 = mn − m
(m − 1)(n − 1) = 4.
n − 1 haruslah merupakan faktor dari 4.
Maka nilai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.
