Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan adalah penjumlahan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara terus menerus. Contoh: Kelipatan dari angka 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, … dst.
KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) disebut juga dengan LCM (Least Common Multiple). KPK adalah kelipatan yang sama dan terkecil antara dua bilangan atau lebih. KPK antara bilangan a dan b biasa ditulis KPK (a,b) atau LCM (a,b). Contohnya, KPK(15,20)=60 atau LCM(15,20)=60.
A. Cara mencari KPK
1. Dengan mencari kelipatan bilangan yang sama dan terkecil
Kelipatan didapat dengan mengalikan suatu bilangan dengan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya sampai anda menemukan KPK. Contohnya, kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, dan seterusnya.
Contoh: Carilah KPK antara 15 dan 40.
Kelipatan dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Kelipatan dari 40 adalah 40, 80, 120, 160,200, …
Perhatikan bahwa yang dicetak tebal (bold) merupakan kelipatan yang sama dan terkecil. Jadi, lcm(15,40)=120.
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.
Contoh:Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:
· Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
147 189 231
/\ /\ /\
3 49 3 63 3 77
/\ /\ /\
7 7 7 9 7 11
/\
3 3
· Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorialnya.
Faktorial 147 = 31 x 72
Faktorial 189 = 33 x 71
Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
· Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33', 72 dan 111.
· Kalikan faktor-faktor tersebut: 33 x 72 x 111 = 14553.
· Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.
2. Dengan menggunakan faktorisasi prima
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.Contoh Bilangan Prima : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …}
Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.
Contohnya, faktorisasi prima dari 28 adalah 22x7 atau bisa ditulis 28=22 x 7. Jika sudah mendapatkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang akan dicari KPK nya, pertama carilah faktor-faktor prima yang sama. Setelah ditemukan faktor-faktor yang sama, ambil satu saja yang memiliki pangkat terbesar. Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi dengan angka yang tidak memiliki pasangan faktor yang sama (jika ada) untuk mendapatkan KPK.
Contoh: Carilah kpk dari 24 dan 60. Pertama-tama carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks.
24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari kedua bilangan di atas adalah hasil perkalian setiap faktor prima yang memiliki pangkat terbesar. Jadi untuk contoh di atas, KPKnya adalah 23 × 3 × 5 = 120.
Untuk mencari faktor prima dari suatu bilangan dapat dilakukan juga dengan tabel atau pohon faktor.
a. Dengan tabel
Tentukan faktor prima dari 36
Penyelesaian:Faktorisasi dari 36 adalah
36
|
36
|
18
|
12
|
9
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
Jadi, faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3.
b. Dengan pohon faktor
Untuk mencari faktor prima suatu bilangan, lebih mudah jika dilakukan dengan pohon faktor, yaitu dengan cara membagi bilangan tersebut dengan suatu bilangan prima terkecil yang mungkin, dan hasil baginya kemudian dibagi dengan bilangan prima terkecil yang mungkin, seterusnya sampai hasil terakhir yang didapat adalah bilangan prima. Susunan pembagian-pembagian tadi diurutkan ke bawah.
Contoh soal: Mencari faktor prima dari 140
140
/\
2 70
/\
2 35
/\
5 7
Karena hasil akhirnya sudah bilangan prima maka pekerjaan kita selesai. Jadi faktor prima dari 140 adalah 2, 5, dan 7. Hasil akhirnya: 140= 2².5.7
3. Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
2
|
24 60
|
12 30
|
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua bilangan prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.
2
|
24 60
|
2
|
12 30
|
3
|
6 15
|
2 5
|
KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.
B. Peragaan
Diawal pertemuan, siswa diminta melakukan kegiatan sederhana yaitu bertepuk tangan bersama-sama di setiap kelipatan dari 3 lalu dilanjutkan ke kelipatan 4. Kemudian siswa dibagi menjadi 2 kelompok A dan B. Kelompok A adalah kelompok yang bertepuk tangan di setiap kelipatan 2, dan kelompok B adalah kelompok yang bertepuk tangan di setiap kelipatan 3. Hitungan dimulai dari 1 – 24.
Di akhir kegiatan ini, siswa menyadari bahwa ada beberapa kali dimana kedua kelompok tersebut bertepuk tangan bersamaan, yaitu di hitungan ke-6, ke-12, ke-18 dan di hitungan ke-24. Siswa diminta menuliskan hasilnya didepan kelas. Berikut ini, merupakan langkah-langkah yang diambil dalam proses pembelajaran KPK, menggunakan permainan “tepuk bergilir”:
1. Memberikan masalah kontekstual yang realistik sebagai upaya mengenalkan konsep kelipatan. Contoh: guru memberikan permainan “tepuk bergilir”, dengan aturan, guru selaku juri, menyebutkan angka satu sampai tiga puluh secara berurutan di depan kelas dan setiap angka yang guru sebutkan merupakan angka kelipatan dari 2 (dalam hal ini, siswa sudah mengenal kelipatan terlebih dahulu), maka siswa harus melakukan tepuk tangan sebanyak satu kali.
2. Tahap pemecahan masalah dan menemukan konsep kelipatan. Pada tahap ini, para siswa, dengan bantuan guru diarahkan untuk dapat mengikuti permainan ini, tanpa melakukan kesalahan. Pada awal-awal permainan, banyak siswa yang melakukan kesalahan terutama pada saat kelipatan-kelipatan, yang melebihi angka 3; misalnya, kelipatan 4, 5, dst. Untuk itu, guru memperbolehkan siswa, terlebih dahulu mendata angka-angka yang merupakan kelipatan dari angka yang diminta. Sehingga, saat melakukan permainan, tidak melakukan kesalahan.Selanjutnya, guru meningkatkan tingkat kesulitan permainan, dengan membagi kelas menjadi 2 kelompok, dimana kelompok yang pertama, melakukan tepuk tangan pada angka-angka yang merupakan kelipatan dari 2 dan kelompok kedua, melakukan tepuk tangan pada angka-angka yang merupakan kelipatan dari 3.
3. Tahap diskusi. Pada tahap ini, setelah melakukan permainan, para siswa diarahkan untuk mendiskusikan permainan diatas, dengan menanyakan kapan mereka melakukan tepuk tangan secara bersamaan dan bagaimana mereka mendata kelipatan dari angka-angka yang diminta.Guru menemukan upaya siswa dalam mendata kelipatan dari angka-angka yang diminta, adalah sebagai berikut:
- Siswa, mengurutkan angka, mulai dari yang terkecil (angka kelipatan yang diminta), kemudian melakukan perkalian 1 sampai 10, terhadap angka kelipatan yang diminta. Kemudian, melingkari angka-angka yang sama dari kedua kelipatan yang diberikan.
- Siswa, mengurutkan angka, mulai dari yang terkecil (angka kelipatan yang diminta), kemudian melakukan penambahan sejumlah angka kelipatan yang diminta sebanyak 10 kali. Kemudian, melingkari angka-angka yang sama dari kedua kelipatan yang diberikan.
4. Tahap refleksi. Pada tahap ini, anak-anak diajak merefleksikan apa yang telah dikerjakan dan apa yang telah dihasilkan, dengan menyampaikan dan menuliskan pendapatnya di depan kelas. Disini, para siswa sangat antusias dalam menyampaikan pendapatnya, walaupun ada satu orang yang melakukan kesalahan, guru selaku pengajar, tidak langsung mengatakan itu sebagai suatu kesalahan, tapi guru menanyakan (baca: mendiskusikan) kepada siswa yang lain, mengenai jawabannya dan akhirnya, dia bisa menyadari kesalahan yang dia buat dengan sendirinya.
5. Tahap selanjutnya adalah membantu siswa mengaitkan permainan tepuk tangan secara bersamaan yang pertama kepada konsep kelipatan dan kedua kepada konsep persekutuan, selanjutnya dari kedua pemahaman tersebut, guru menggiring siswa untuk mencari angka terkecil dari angka persekutuan yang telah mereka data. Perlu diketahui, dalam pembelajaran ini, semua istilah diatas, mulai dari Kelipatan, Persekutuan, dan Terkecil (baca: KPK), diketemukan oleh siswa sendiri. Guru selaku pengajar, hanya menggiring mereka ke arah sana, dengan permainan diatas.
6. Tahap akhir, anak-anak diajak untuk mengembangkan, memperluas, dan meningkatkan hasil-hasil dari pemahaman mereka, dengan mengerjakan beberapa soal-soal yang ada di buku panduan mereka, dan hasilnya, mereka dapat dengan cepat mengerjakannya.
Kesimpulan
Berdasarkan atas kegiatan yang guru lakukan diatas, guru dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Awalnya, siswa mengalami kesulitan dalam mengikuti permainan “tepuk bergilir”. Akan tetapi, setelah mereka mendata terlebih dahulu, setiap kelipatan dari angka yang diberikan, mereka bisa dengan mudah mengikuti permainan tersebut tanpa melakukan kesalahan.
2. Permainan tersebut membuat mereka lebih memahami konsep kelipatan. Ini dikarenakan sifat dasar anak-anak yang lebih mudah memahami suatu pelajaran dengan cara bermain atau bisa dikatakan dengan bermain sambil belajar.
3. Setelah para siswa memahami konsep kelipatan, guru dapat dengan mudah memandu mereka mengenal apa itu persekutuan, selanjutnya mencari KPK. Dengan pemahaman konsep yang mereka bangun sendiri, mereka dapat dengan mudah menyelesaikan soal-soal yang ada di dalam buku panduan mereka.
4. Permainan “tepuk bergilir” dapat meningkatkan pemahaman siswa dalam pembelajaran KPK.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor merupakan angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, disebut juga dengan GCD (Great Common Divisor), yaitu faktor-faktor atau angka-angka pembagi yang sama dan terbesar antara dua bilangan atau lebih.
Faktor pembagi adalah : Angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Misalnya:faktor pembagi dari angka 10 adalah (cari angka yang dapat membagi angka tersebut) 1, 2, 5, 10. Lihat : faktor pembagi angka 10 = 1, 2, 5, 10 (angka 10 dapat dibagi angka 1, angka 10 dapat dibagi angka 2, angka 10 dapat dibagi angka 5, dan angka 10 dapat dibagi oleh angka 10).
FPB antara bilangan a dan b biasa ditulis FPB(a,b) atau GCD(a,b). Contohnya, FPB(15,45)=15 atau GCD(15,45)=15.
A. Cara Mencari FPB
1. Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan yang sama dan terbesar
Faktor-faktor bilangan didapat dengan mencari semua perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan tersebut.
Contoh:Carilah FPB antara 25 dan 40.
Bilangan 25 didapat dari hasil perkalian (1 x 25) dan (5 x 5). Jadi, faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.
Bilangan 40 didapat dari hasil perkalian (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi, faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.
Perhatikan faktor-faktor bilangan 25 dan 40. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama dan terbesar adalah 5. Jadi, GCD(25,40)=5.
2. Dengan menggunakan faktorisasi prima.
Pertama, cari faktor prima dari bilangan-bilangannya. Jika sudah mendapatkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang akan dicari FPB nya, maka carilah faktor-faktor prima yang sama, ambil saja salah satunya yang memiliki pangkat terkecil. Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi untuk mendapatkan FPB.
Contoh: Carilah FPB antara 25 dan 40.
25=52
40=23 .5
40=23 .5
Perhatikan bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya. 5 berpangkat 1, sedangkan 52 berpangkat 2. Karena 1 < 2, jadi diambil 5. Karena tidak ada lagi faktor-faktor prima yang sama, maka GCD(25,40)=5
3. Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
2
|
24 60
|
12 30
|
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan prima yang dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan.
2
|
24 60
|
2
|
12 30
|
3
|
6 15
|
2 5
|
FPBnya adalah 2 × 2 × 3 = 12
4. Algoritma Euclid
Algoritma ini mencari FPB dengan cara melakukan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPBnya sampai kita mendapatkan sisa 0 dari hasil pembagian.
Misalnya untuk contoh kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah sebagai berikut.
· Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Dalam contoh ini, kita bagi 60 dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
· Lalu kita bagi bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12). Jadi 24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
· Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah FPBnya, yaitu 12.
Marilah kita lihat contoh yang lain, cari FPB dari 40 dan 64.
· 64 ÷ 40 = 1 dengan sisa 24
· 40 ÷ 24 = 1 dengan sisa 16
· 24 ÷ 16 = 1 dengan sisa 8
· 16 ÷ 8 = 2 dengan sisa 0.
Kita berhenti di sini sebab kita sudah mendapat sisa 0. Bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah 8, jadi FPB dari 40 dan 64 adalah 8.
Hubungan KPK dan FPB
Jika kita tahu KPK dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung FPBnya dengan menggunakan rumus berikut ini.
Jika kita tahu FPB dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus berikut ini.
Cara mudah mencari KPK dan FPB
Contoh: Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 30. Jawab:
24 = 6×4
30 = 6×5
FPB = 6
KPK = 6 x (4×5) = 120 (Selesai)
Contoh lain : Tentukan FPB dan KPK dari 50 dan 75. Jawab:
50 = 25×2
75 = 25x3
FPB = 25
KPK = 25 x (2×3) = 150 (Selesai)
B. Peragaan
Konsep formal dari FPB:
1. Real Situation, tahap pertama, dimana siswa diberikan sebuah masalah yang sangat umum terjadi di sekitar mereka yaitu membagi dua jenis permen (12 buah permen kopi dan 6 buah permen buah-buahan) kepada beberapa orang teman. Siswa masih mengalami kesulitan saat harus menentukan jumlah permen yang harus dibagi dan kepada berapa orang permen tersebut dibagi agar masing-masing anak mendapatkan jumlah yang sama.
2.Model of real situation merupakan tahap kedua dari proses kali ini. Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok kecil yang terdiri dari 4 orang siswa. Disini setiap kelompok diberikan beberapa buah batu kerikil sebagai model dari kedua jenis permen. Dengan media yang diberikan, siswa menemukan sendiri konsep faktor dari suatu bilangan, pada kesempatan kali ini faktor dari bilangan 12 dan 6. Siswa membagi bilangan 12 dengan bilangan 1, 2, 3, …, 12 dan membagi bilangan 6dengan bilangan 1, 2, 3, …, 6. Pada akhir kegiatan ini siswa menuliskan apa yang mereka dapat sesuai dengan format yang kelompok mereka telah diskusikan sebelumnya.
3. Model for formal mathematics untuk kegiatan ini ialah tabel faktor. Walaupun beberapa orang siswa sudah dapat menuliskan faktor dari bilangan 12 dan 6 secara langsung tanpa menggunakan tabel faktor, tabel ini masih sangat dibutuhkan untuk sebagian besar siswa yang belum mengetahui bahwa faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang habis untuk membagi bilangan itu.Setelah siswa memahami konsep faktor, dengan mudah siswa menemukan konsep lanjutan yaitu konsep faktor persekutuan dan faktor persekutuan terbesar (FPB). Sebelum memasuki materi FPB, siswa sudah memahami konsep FPK. Hal ini secara tidak langsung membantu siswa memahami FPB dengan cepat.
4. Formal Mathematics, dimana siswa mampu menuliskan FPB dari bilangan 12 dan 6dengan benar. Pertama-tama siswa melingkari bilangan mana saja yang terdapat di dalam barisan faktor dari bilangan 12 dan juga terdapat di dalam barisan faktor dari bilangan 6. Pada akhirnya, siswa menuliskan bilangan terbesar dari kumpulan bilangan yang dilingkari tersebut.
Kesimpulan
Konsep FPB adalah konsep yang sulit dipahami siswa jika mereka diharuskan menghapal pengertian dari FPB itu sendiri. Dengan bermain membagi permen dan kerikil ini, siswa lebih mudah memahami konsep FPB karena mereka melakukan kegiatan yang berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Bermula dari masalah situasional yang nyata lalu menuju kepada formal matematika. Apabila siswa kesulitan mengerjakan soal-soal formal, mereka dapat kembali ke tahap yang ada di bawahnya yaitu real situation atau penggunaan model. Kesimpulan yang dapat ditarik dari kegiatan kali ini adalah permen dan kerikil dapat membantu siswa memahami konsep FPB.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.idomaths.com/id/fpb_kpk.php
http://apiqquantum.com/2009/08/13/mudah-dan-asyik-menentukan-kpk-dan-fpb-dengan-inovasi-pembelajaran-matematika-kreatif-apiq/
http://id.wikipedia.org/wiki/Faktor_persekutuan_terbesar
